曲面積を求める 曲面を で あらわす． このとき，右図の曲面の面積素は， より で表される． 今， として面積素を計算すると ． 面積はこれを領域 で積分すればよいので， で求められる． 例 半径 の球の表面積 半径 の球： （上半球）として面積を求める．（実際の表面積の ）球の表面積の計算 それでは先ほど説明した立方体の表面積の計算方法で球の表面積を計算してみましょう。 まず球の体積\(V\)は\(\frac{4πR^3}{3}\)です。よって表面積を\(S\)とすると $$ \int_0^R S dr = \frac{4πR^3}{3} $$ これを満たす\(S\)を考えると以下の式になります。球の表面積は，半径，y，の円に微小な厚みをかけた円帯を足し合わせていったものですから，半球の表面積は， となります． ここで，なぜ，x軸に沿っての積分，dx，ではないか，の説明は， こちら ，のサイトに丁寧に書かれているので，参考にしてみて
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球 表面積 最小 証明-半径 r の球の体積 を求めよ。 解答 2 －x 2) で表される上半円をx軸の周りに回転したものと考える。 回転体の表面積 関数y＝f(x) が区間a,b上で有界で微分可能とする。このとき、この区間上での回転体の表面積を求めてみよう。 体積を考えた時の図 を再び表面積 を持つ球形，および は体積 および表面積 の両凹円盤形を示す． を変化させることで，球形 と両凹円盤形 の間の形を連続的に表現 した． 本研究では，式(3)の自然状態を，式(1)に示す面内せ ん段変形に対してのみ考慮することとし，式(2)の曲げ
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球の体積を r r で微分したものが球の表面積になることを利用して証明します。 半径 t t の球の表面積を S(t) S ( t) と書きます。 また半径 r r の球を薄い球殻を寄せ集めたものとみなして体積を求める。 三次元空間において原点からの距離からが t t 以上 t @ ̑̐ρE \ ʐς̌ ̂ Ƃ ؖ ́C Z wIII i 3 j Ŕ ϕ p čs 邪 C ܂łɂ o ꂷ ʂ C ̑̐ρE \ ʐς̌ ͏ w Z ̓ Ɋo Ă Ƃ悢 D m ̑̐ρnアルキメデスが最も誇りにしていた仕事に「球と 円柱について」という著作がある。この論文で彼は球の表面積は、図1のように外 接する円柱の表面積の言に等しく、球の体積は外接する円柱の体積の；に等しい ことを証明している。
球の表面積 球の表面積 ＝ 半径×半径×4×314 この公式を，パップス・ギュルダンの定理を利用して，小学生レベルで導いてみます。 パップス・ギュルダンの定理による表面積の考え方 回転させたい図形を， (とても細い)針金でできていると考える球の体積と表面積を積分で証明の表面積の証明1とほぼ同じことをやるだけです。 証明 もとの球の半径を r r r とする。 全体の証明の流れであるが、半径rの円Oの面積がπr 2 でないと仮定して矛盾を導き、背理法で証明するのである。 円Oの面積がπr 2 でないとしたら
球座標では，図23のように球の中心からの半径を r，北極から測った角度を 0 ，x軸から測った角度を 0 2 として，(r, , )の順にかく． r x y z rsin rcos P(r, , ) a r a a r x y z (a) 球座標系の取り方 (b) 単位ベクトルの向き 図23 球座標系 単位ベクトルは a1／2時 ・球の体積を求めることができる。 ・球の体積の求め方を理解する。 球の表面積の求め方を復習する。 本時の学習内容「球の体積の求め方を考えよう」を知る。 教科書180ページの「ひろげよう」に取り組む。 何杯分になるかを予想する。 全体球冠，球帯の面積の求め方02 球をある平面で切り取った部分， 球冠 ，の表面積は，以下の図で示すように， 積分範囲を，0からl 2 までにすればよいので， と表すことができます．
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されている。具体的に大日本図書『数学の世界 1』では、球の表面積→球の体積の順に導入している。 なお、最後の部分で球を中心を頂点とする極小な四角形に分割するという面積分の考え方で 1/3×球の表面積×半径＝球の体積 を導いている。 証明 半径 t の球の表面積を S (t) と書く。 三次元空間において、原点からの距離が t 以上 t \Delta t 以下の間にある部分（球殻）を考える。 \Delta t が十分小さいとき、この球殻の体積は (\text {表面積}) \times (\text {厚さ}) = S (t) \, \Delta t とみなせる。 このような球殻を t = 0 から t = r まで足し合わせたものが半径 r の球であり、体積は \displaystyle \frac {4} {3} \pi r^3 で表面積の証明 半径 の球に内接する円柱の側面積と球の表面積が等しいことを証明します。そうすれば、 と導出できます。まず、球と円柱を高さ方向へ細かくスライスする状況をイメージしてください。 このスライスしたところの面積は 円柱： 球：
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7、球の表面積 T：ところで、球の体積がわかると、球の表面積もわかる。 s：球は曲がっているのに、表面積が求まるんですか。 T：夏になるとスイカを食べるだろ。あのスイカを食べやすくするために切るね。そのスイカ をどんどん小さくしていく。する球の体積 π r 3 は円柱の体積 2π r 3 の （2） 球の表面積 4π r 2 は円柱の表面積 6π r 2 の となることを発見したといわれています。 ここでは，球の体積をアルキメデスがどのようにして求めたかを見てみましょう。 球の体積を求めるには，半球の体積がわかればよい。 半球を，図（イ）のように，底面に並行な平面で等しい間隔に切り，図（ア），図（ウ）のよう球の体積の公式を説明していたのを見たような気がする。 このページでは、円や球という図形に的を絞って、その面積や体積・表面積の公式を、直 感的に求める方法について整理しておきたい。 出発点は、まず円周率である。
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球 の体積に直接的に関する定理を、歴史的に最初に発見したアルキメデスの発見方法を中心 とし教材を構成した。「 方法」に示されている証明は、図形同士の比を用いて論証を進めて いくものである。 円の面積、球の体積の公式の微積による証明（導出） そもそもこれは微積を用いないと厳密には証明できない感じです。 球の体積公式まずは公式を書いておきます。半径を \(r\) として\(V=\displaystyle\frac{4}{3}\p円柱の底面と球の中心を通る断面が等しくなる 底面の半径： 4ｃｍ ，高さ： 8ｃｍ （2）柱の体積の求め方は、底面積×高さ 式：4×4×π×8 ，体積： 128πｃｍ3 （3）半球と円柱の体積の関係：半球の体積は円柱の3分の1 128
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(2) 球の表面積の求め方 『円柱に内接する球の表面積と円柱の側面積が等しい』より4πr²を導く。しかし、等しくな る理由の説明がない。積分で証明が可能との話が必要 球の表面積の求め方の公式を1発でおぼえる方法 球の表面積の求め方の公式である、 4×π×半径の二乗 を一発で暗記してできちゃう語呂を紹介しよう。 このイメージさえ掴んじまえば、テストでも公式を忘れないはず！ 球の表面積の公式を暗記するためよって球の表面積は外接円柱側面の面積に等しい、 とう趣旨を主張している。 12 節回転体の体積 任意の面を軸の回わりに回転させた回転体の体積公式は、 西洋流ではバッポス = ギュルダンの公式と呼ばれる。関も、 と (3 において、公式を4) 「体積=面積
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したがって、球の表面積は4πr 2 となる。 ＜注：参考文献5から＞ 10 球の表面積（3）積分の利用 次に、回転体の表面積を求める公式を利用して求めてみる。 ＜注：参考文献6から＞ 11 球の表面積（4）ひもでの実験解析学IB・IIA 講義資料 球座標におけるベクトル解析 §1 線素ベクトル・面素ベクトル・体積要素 線素ベクトル 球座標では図1 に示すようにr, θ, φ の値を1 組与えることによって空間の点(r,θ,φ) を指定する ここで, r, θ, φ の動く範囲は0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π であ るよって、球の体積Ｖは、円の面積をx 方向に積分すると、Ｖ＝２∫0rπ(r2－x2) dxより、 Ｖ＝２πr2x－(x3/3)0r＝(4/3)πr3を導くことができる。 ②球の表面積の公式の求め方(1)
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球の表面積の場合は、 球面の全てを覆うように積分範囲を指定する必要があったが、 弓形領域の半分の領域 弓形領域の半分の領域 (黄色) の面積を求める場合は $\phi$ に関する積分範囲を $\alpha$ にすると、その領域が覆われる。の球の体積と表面積を求める公式は以下のようになります。 球 の 体 積 ＝ 4 3πr 3 球 の 体 積 ＝ 4 3 π r 3 球 の 表 面 積 ＝ 4πr 2 球 の 表 面 積 ＝ 4 π r 2 「なぜこの公式が成立するのか」については中学生の知識の範囲外です。 証明には高校数学の球の体積の公式 （Vは球の体積。πは円周率。rは球の半径） 球の体積の証明 球の中心を通るx軸を想定して計算。球をそのx軸に直角に切る円の面積を積分するという考え方。その円の半径はx軸の変数xと球の半径rから三平方の定理で算出。
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うさぎでもわかる解析 Part27 2重積分の応用（体積・曲面積の求め方） こんにちは、ももやまです。 今回は2重積分を使って立体の体積や曲面積（表面積）を求める方法についてまとめています。 前回の記事（Part26）はこちら！ 広義積分・ガウス積分に
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